기초부터 시작하는 미분방정식(1)

미분방정식

 

 

방정식은 미지수가 포함된 등식에서 미지수에 특정값이 주어졌을 때만 참이 되는 등식을 방정식이 라고한다.

우리가 흔히 방정식을 푼다는것은 등식이 참이되게 하는 미지수의 값을 구하는것이다.

 

그렇다면 우리가 이번에 공부할 미분방정식이란 무엇일까? 

미분방정식은 우리가 앞서 배운 방정식에서 미지수에서 나아가 미지의 함수, 그 도함수, 함수에 관련된 여러한 미지수로 이루어진 방정식이다.

그러면 미분방정식을 푼다는것은 무엇일까? 방정식에서 해를 구하는것처럼 미분방정식은 함수를 구하게 된다.  

 

미분방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학등 넓은 범위에서 사용된다.

이번기회에 미분방정식에 대해 공부해보자.

 

미분방정식을 공부하기 위해선 기본적으로 적분법, 미분법이 기본적으로 필요하다. 지수함수의 적분, 삼각함수의 적분 등을 미리 숙지한 상태에서 시작하도록 하자

 

일계 선형미분방정식

 

꼴을 일계 선형미분방정식이라고 한다.

 

일계 선형미분방정식을 푸는 핵심아이디어는 양변에 적분인자를 곱해서 좌변을 적분할 수 있는 꼴로 만들어주는것이다.

일계 선형미분방정시에서 적분인자는 다음과 같다.

일계 선형미분방정식을 푸는데 있어 이꼴을 외우는것이 가장 중요하다.

 

적분인자를 구했으면 양변에 적분인자를 곱해보자

(위의 식을 1번식이라고 하자)

적분인자를 곱하면 다음과 같은 식이 나오는데 좌변을 적분 할 수 있을것 같아 보인다.

 

이므로 좌변을 적분하면 

인것을 알 수 있다. 따라서 1번식의 양변을 적분하면 

위의 식이 나온다. 따라서 우리가 구하고 싶은 y는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위 방법을 통해 연습문제를 풀어보자

 

위의 식의 적분인자를 구해보면

이다.

앞서 배운 방법으로 미분방정식을 풀어보면 다음과 같다.

끝내며

일계 선형미분방정시을 푸는것은 어렵지 않다. 단순히 적분인자를 구하는 식을 외우고 적분만 할 수 있다면 일계 선형 미분방정식을 푸는것은 매우 단순하게 받아드려질 수 있다.